３−８．お菓子の分配

　こども向けのパズル・ブックで見かける問題にこんなのがある。

「遊んでいる８人のこどもが、円柱形のお菓子をもらった。これを８人で等分するのに、ナイフを３回入れるだけですましたいのだが、どう切ればいいだろうか。ナイフはまっすぐスパッと切るだけで、回したり、ぎざぎざに切ったりしてはだめだよ」

　これは平面的に切ろうとしてもだめで、答はむろん右のように切ることである。

３人で分けるには？

[1]３人のつけた線

[2]３人とも得をする

　ところで、３人でたとえば右のようなのようなお菓子を分けるのに、最悪でも各人の希望通り、うまくすると全員が得をするという、ちょっと考えられないような巧妙な方法がある。
　それは、まずA、B、C、３人にそれぞれ自分が３等分だと思う箇所に筋をつけてもらう。その結果、[1]のようになったとしよう。そうしたら、[2]のように分ければよい。各人が自分では３分の１だと考えたものより、斜線の部分だけ多くもらえることになり、全員が得をする。３人の筋の付け方がこれと違った場合にはどうなるか、調べてみるとよい。だれも決して損をしないことがわかるはずである。

　この分け方は、ポーランドの有名な数学者のＨ．ステインハウスの著した「数学スナップショット」という本の中に書かれている。

　中村義作氏は、チョコレートをコーティングしたお菓子の分配法を考えている。これも大変おもしろいと思う。次のように上の面が正方形をしたケーキがある。このケーキの上面と４側面にはこどもの大好きなチョコレートがコーティングされている。これを５人のこどもに分けようというのだが、分けたお菓子の体積が同じであることはもちろん、チョコレートの塗られている面積も全員同じでないといけない。さあ、どうすればよいだろうか。

チョコレートで覆われたケーキを５等分するには？

　そのやり方であるが、まず正方形の２本の対角線を引いて、上面の中心を求める。そうしたら正方形の周囲を５等分して、中心と５等分点とを結ぶ直線を引き、ナイフをこの線に沿って入れて、垂直に切り下ろせばよい。

５等分のやり方

　側面の面積が５つとも等しいことはすぐわかるだろう。上面も正方形の頂点を含む四辺形は、対角線で２つの三角形に分けて考えれば、面積が５等分されていることが理解できると思う。上面の面積が等しければ体積も同じである。このやり方で、一般にｎ等分することも可能である。