１−１６．虫食い算

　計算式の一部または全部の数字が空白になっていて、それを推理や試行錯誤で埋めて復元するパズルである。

　わが国には虫食い証文の形の虫食い算が多数存在とした。印刷された最も古い問題は、中根彦循が著した『竿頭算法』（天文３年、1738）の中の次のような問題（原文は漢文）である。

　客が来てこんな質問をした。たまたまタンスの中から古い書き付けが出てきたので開いてみると、いくらかの銀を37人で等分する問題だった。しかし、虫食いのために銀の総量は真ん中が23匁であることしかわからない。また一人当たりの銀も虫食いのために最後が２分３厘であることしかわからない。いったい銀の総量と１人当たりの分け前は、それぞれいくらであろうか。

　この問題は、その後の問題のように、証文の図がついていないが、証文の形にしてみると[1]のようになる。なお[2]は松岡能一の『算学稽古大全』（文化５年、1808）のもので、これを現在の虫食い算の形にすると、

　□□□４５ ÷ □□ ＝ ２７３

となる。

　このように江戸時代の虫食い算はいずれも虫食い証文の形をとっており、金相場、米相場等がからんでいるものが多い。これに対して現在の虫食い算は、計算式に□、○、＊等で示される空白箇所があり、そこに数字を当てて式を完成させる。
　[3]-Aは、先の『竿頭算法』の問題を現在の形に直したものである。これを解いてみよう。出ている数字から求められる箇所に数字を埋めてみると、[3]-Bのようになる。
Ｄ ＋ ６ ＝ ・２（下から繰り上がった１を引いてある）であるから、Ｄは６であることがわかる。したがってＢ２３×７＝・６６１となり、Ｂは５に決定する。以下、Ｅ、Ｃ、Ａと、イモヅル式に決まっていくので、最後まで解いてみてほしい。

　虫食い算を解くには、桁数など式の形もヒントになる。[4]はその一例である。出ている数は８が１つだけである。まず、４段目は３桁なのに、３段目は４桁である。これは２段目の１位が８よりも大きい、つまり９だということで、２段目は89に決定する。次に５段目の最高位は９以下、３段目の最高位は１以上だから、４段目は８以下である。１段目の８倍は899以下で、９倍は1000以上だというのだから、調べてみると、こんな数は112しかない。これで事実上解けたことになる。

[1]

 
[2]

[3]-A

[3]-B

[4]