１−７．油分け算

　油等を与えられた容器だけを用いて等分する問題が、「油分け算」である。吉田光由の著した『塵劫記』（寛永８年版、1631）[1]に、こんな問題がある。

「斗桶に油が１斗（＝10升）ある。これ二人で分けるのだが、７升ますと３升ますしかない。この二つだけで、５升ずつ等分してほしい。」

[1]『塵劫記』の油分け算

　そのやり方は、まず３升ますで３杯７升ますへ入れる。３杯目は３升ますに２升残る。そこで、７升ますの油を斗桶に戻し、３升ますに残った２升を７升ますに移す。もう１回斗桶から油を３升ますに入れ、これを７升ますに加えれば、７升ますと斗桶に５升ずつあることになり、これで等分されたわけである。

　この油分け算は、『塵劫記』以前の日本の文献にも中国の文献にも見当たらない。しかし西洋では古くからあるので、キリスト教の宣教師が伝えた可能性もあるが、確たる証拠はない。
　西洋には、13世紀の中頃にはすでにこの種の問題があったという。Ｃ．Ｇ．バシェーの著した『数学遊戯問題集』（改訂増補版、1624）には、８パイントのワインを、５パイントと３パイントの容器で等分する問題が載っている。また、１６バイントを９パイントと７パイントの容器で等分する問題等もあり、それぞれ解法が２種類ずつ載っている。西洋の問題は、いずれもワインや精油を等分する問題になっている。
　Ａ、Ｂ、Ｃ、３種類の容器があって、Ａ＞Ｂ＞Ｃだとすると、油分け算の一般的な解法は次のとおりである。

1. Ｂが空なら、Ａの油をＢに満たす。
2. Ｂに油が入っていたら、次のどちらかを行う。
   1. Ｃが一杯でなければ、Ｂの油でＣを満たす。
   2. Ｃが一杯なら、それをＡにあけてから、(i)を行う。

　以上の操作を繰り返せばよい。

　1939年、Ｍ．Ｃ．Ｋ．ツイーディーは、グラフを用いた巧妙な方法を発表した。[2]は『塵劫記』の問題をグラフにしたもので、х軸は３升ます、у軸は７升ます、斜め方向に書かれている数は、斗桶に入っている油の量を示している。出発点はＤで、目的地は○印の点である。移動は、直線上を行けるところまで行き、途中で止まることは許されない。まずＤからＡに向けて出発し、目的値に達するまでのコースをしめしたのが、[3]である。Ｃに向かって出発すれば、また別の解が得られる。

[2]油分け算のグラフ

[3]グラフによる解