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パズル遊びへの招待・オンライン版

1−28.にせがねの問題


 第二次世界大戦も終盤に近づいた1945年のことだった。『アメリカン・マセマティカル・マンスリー』1月号に次のような問題が提起された。出題者はバージニア州のE.D.シェルである。

 同種のコイン8枚と、てんびんが1台ある。コインのうち1枚はにせがねで、他のものより重さが軽い。てんびんを2回使うだけで、にせがねの存在を確認し、それを見つけだすことができるだろうか。

 この問題は大きな反響をまき起こした。解答は同誌の8−9月号に掲載された。この問題は、ちょっと考えると、まずてんびんの左右の皿に4枚ずつコインを載せて重さを比較し、どちらか軽い方の4枚を2枚ずつてんびんの左右の皿に載せて重さを比較する。最後に軽かった方の2枚を1枚ずつ両皿に載せて重さを比較して、軽い方がにせがねと結論される。しかしこのやり方では、3回測る必要がある。2回で済ますにはどうしたらよいだろうか。

 正解を図で示すと、[1]のようになる。4枚ずつ測らずに、
(枚数+1)÷3
枚ずつ、つまり3枚ずつ測るのが妙手である。このようにすると、N枚のコインがあって、Nが

3n-1 ≦ N < 3n

である場合は、n回の測定でにせがねを見つけだすことができる。ただし、にせがねが混ざっていることが確実で、その確認をする必要がなければ、Nが

3n-1 < N ≦ 3n

のときにn回の測定でにせがねを指摘することが可能である。

 このにせがねの問題は、多くの数学者やパズル愛好家を熱中させた。そしてこの問題をさらに一般化した形の「コイン12枚の問題」が考え出されて『スクリプタ・マセマティカ』誌に発表された。その過熱ぶりは相当なものであったらしく、ドイツの潜水艦を沈めるために使われるべき多くの頭脳が、このパズルのために消費されたと書かれているほどである。
 コイン12枚の問題は、次のようなものである。

 見かけは全く同じコインが12枚あるが、そのうち1枚はわずかに重さが異なっている。その重いか軽いかを知らずに、3回てんびんを使うだけでそのコインを指摘するには、どうしたらよいだろうか。


[1]コイン8枚の問題の解き方


[2]コイン12枚の問題の解き方

 この問題の解き方を[2]に示した。一般にN枚のコインがあって、Nの値が

(3n-1 - 1)/2 ≦ N < (3n - 1)/2

のときにn回の測定でにせがねを確認することができる。

 このコーナーは、高木茂男氏の著書「パズル遊びへの招待」(発行:PHP研究所・1994年)の内容に著者自身が加筆・修正を加えたものを、著者本人及び出版元の許諾により掲載しているものです。
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●第1部・歴史的なパズル●

  1. 迷路
  2. リンド・パピルスのパズル(からす算)
  3. 魔方陣
  4. 知恵の輪(チャイニーズリング)
  5. ヨセフスの問題とまま子立て
  6. 渡船問題(川渡りの問題)
  7. 油分け算
  8. 盗人隠し
  9. さっさ立て
  10. 薬師算
  11. 碁石拾い
  12. おしどりの遊びと入れ替え問題
  13. 一小刀問題
  14. ねずみ算とフィボナッチ数列
  15. 知恵の板
  16. 虫食い算
  17. 目付け字と数当てカード
  18. 橋渡り問題と一筆書き
  19. ソリテア
  20. ハノイの塔
  21. デュードニー
  22. サム・ロイド
  23. 移動板パズル
  24. 図形消滅パズル
  25. パラドックス
  26. 四色問題
  27. チェスのパズル
  28. にせ金の問題

●第2部・言葉と絵のパズル●

  1. 回文
  2. アナグラム
  3. 折り句
  4. 暗号
  5. ダブレット(変形パズル)
  6. クロスワードパズル
  7. サーチワード、クリスクロス
  8. スクラブル
  9. 漢字作りパズル
  10. 単語作りパズル
  11. 判じ物と判じ絵
  12. 絵暦
  13. 新しい単語パズルの作り方
  14. 電卓文字遊び
  15. いろいろな文字遊び
  16. 絵当てパズル
  17. かくし絵
  18. さかさ絵
  19. その他の絵のパズル

●第3部・パズルの展開●

  1. ポリオミノ
  2. 立体パズル
  3. ブラックボックス
  4. 裏表パズル
  5. ザイルトリック
  6. 絵合わせパズル
  7. 切り継ぎパズル
  8. お菓子の分配
  9. クロスワードパズルの数字版
  10. 電卓数字パズル
  11. 覆面算
  12. 年賀用パズル
  13. コインのパラドックス
  14. マスターマインド
  15. パソコン・パズル
  16. 速算ダイス
  17. インスタント・インサニティ
  18. グラスパズル
  19. 匹見木のパズル

●パズルの考え方・解き方●

  1. パズルの考え方・解き方 (1)
  2. パズルの考え方・解き方 (2)
  3. 参考文献

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