１−１４．ねずみ算とフィボナッチ数列

　飛躍的に数が増大することを、よく「ねずみ算的に増える」というが、ねずみ算とはどんなものかを知っている人は極めて少ない。吉田光由の著した『塵劫記』（寛永８年版、1631）[1]によれば、ねずみ算は次のような問題になっている。

　正月にねずみの夫婦が現れて、子を12匹生んだ。親とともに14匹になる。２月になると、子どもも成長して親となり、一対で12匹の子を生む。親もまた12匹生むので、親、子、孫の合計は98匹になる。このようにして、月に一度、親も子も孫もひ孫もやしゃ子も12匹ずつ子を生み続けたとすると、12月の間に何匹になるだろうか。

　この答は、なんと276億8257万4402匹になる。途中経過を[2]に表で示した。その計算法であるが、月数をｎとすれば、ねずみの総数は２×７ⁿとなる。したがって十二か月では、

２×７¹²＝27682574402

となる。ただ、この計算が成り立つためには、生まれた子がおす、めす同数であることが前提である。
　ねずみは早熟多産で、どぶねずみでは一回に１匹から18匹の子を生み、年に10回以上も出産可能であること、子どもも生後３週間で成熟し、妊娠すれば３週間で出産することが、ものの本に出ているので、条件さえよければ、この計算のようなことが、実際に起こり得るわけである。

　ところで西洋でも、1220年ごろのイタリアの数学者フィボナッチが、うさぎ算とでも呼ぶ問題を考えている。

　１対の親うさぎがいた。彼らは月に１回１対の子を生む。子は２か月後には成熟する。１年の終わりには何匹になるだろうか。

　１月は１対である。２月は子を生んで２対になる。３月にはさらに１対の子を生んで３対になる。４月になると、親が子を生むだけでなく、子も成熟して子を生む。そこで５対になる。こうして対の数は、

　１、２、３、５、８、13、21･･･

となる。この数列は、それぞれの項がそれに先立つ２項の和だという特色を持っている。したがって、12月までの計算は容易にできる。たとえば８月は13＋21＝34として求められる。以下、

９月　21＋34＝55
10月　34＋55＝89
11月　55＋89＝144
12月　89＋144＝233

となる。こうしたフィボナッチ数列は、自然界のあちこちに見られ、その点でも注目されている。

[1]『塵劫記』ねずみ算