１−２５．パラドックス

　間違った推論でありながら、いかにも正しそうに見えるものをいう。（その逆に、どう考えても正論とは思えないもので、実は本当だという場合もパラドックスと呼ぶ場合がある。）

　古典的なものにゼノンのパラドックスがある。その中でも特に有名なのが「アキレスとカメ」である。カメと駿足で知られたアキレスがかけっこをして、カメが先にスタートしたとすると、アキレスはカメに追いつくことはできない。なぜなら、アキレスがカメのもといた位置に達すると、カメはそれより先へ行っている。アキレスがまたその位置まで到達すると、カメはさらにその先へ行っている。このようにして、アキレスはいつまでたってもカメに追いつくことはできないというのである。

[1]図形のパラドックス

5×13 = 65

　図形のパラドックスで比較的よく知られているのが[1]である。これは『不思議な国のアリス』等の著書で有名なルイス・キャロルが創案したとも、21で紹介したサム・ロイドの作だとも言われている。１辺が８の正方形がある。当然面積は64である。ところがそれを４つの片に分けて、組み直すと縦が５で横が13の長方形になるが、その面積はなんと65である。つまり、64 ＝ 65 となってしまう。

[2] [1]の種明かし

　このトリックは、[1]をいくら見つめていてもわからないが、方眼紙に正確に図を描いてみるか、長方形の対角線が縦線と交わる点の位置を計算するかしてみれば、たちどころに判明する。図を極端に描いてみると[2]のようになり、隙間の部分がちょうどます目１個分になるのである。

　数式のパラドックスは、してはいけない計算を行ったり、定理や公式などを適用する際の条件を考慮に入れなかったりするものが多い。[3]はその一例であるが、こうした矛盾の起きたのは、両辺を（ａ−ｂ）つまり０で割ったことに原因がある。

　最初にカッコ内で示したようなパラドックスの一例に、契約金の問題がある。次はＡ社とＢ社の契約条件である。

• Ａ社…年額200万円で、毎年40万円増加。一年払い。
• Ｂ社…年額200万円で、半年ごとに10万円増加。半年払い。

　これはどう見てもＡ社の方が条件がいいように思えるが、実は違う。[4]の比較表を見てほしい。Ｂ社の方が年に10万円ずつ多いことがわかると思う。